Serie

  • Materia: Serie
  • Visto: 2099
  • Data: 13/07/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Studiare il carattere della seguene serie $sum_{n=1}^{+infty} \\frac{\\cos(n \\frac{\\pi}{2})}{n}$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Studiare il carattere della seguene serie

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos(n \frac{\pi}{2})}{n}$

 


Osservando che

 

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos(n \frac{\pi}{2})}{n} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{8} - \frac{1}{10} + \ldots$

 

si nota che la serie iniziale equivale a

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{2n}$

 

Le ipotesi del criterio di Leibniz sono soddisfatte, dato che

 

$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2n} = 0$

 

$\frac{1}{2n} > \frac{1}{2(n+1)}$ $\forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$

 

pertanto la serie converge.

 

FINE