Serie

  • Materia: Serie
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  • Data: 11/07/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Studiare il carattere della seguente serie $\\sum_{n=0}^{+\\infty} \\frac{2^n + 1}{3^n + n}$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Studiare il carattere della seguente serie

 

$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^n + 1}{3^n + n}$

 


La serie è a termini positivi. La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta, visto che

 

 

$\lim_{n \to +\infty} \frac{2^n + 1}{3^n + n} = \lim_{n \to +\infty} (\frac{2}{3})^n \frac{1 + 2^{-n}}{1 + n \cdot 3^{-n}} = 0 \cdot 1 = 0$

 

Dato che

 

$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{2^n + 1}{3^n + n}}{\frac{2^n}{3^n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2^n + 1}{3^n + n} \frac{2^{-n}}{3^{-n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1 + 2^{-n}}{1 + n \cdot 3^{-n}} = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1$

 

allora $\frac{2^n + 1}{3^n + n} ~ (\frac{2}{3})^n$. La serie

 

$\sum_{n=0}^{+\infty} (\frac{2}{3})^n$

 

converge perché è una serie geometrica con ragione minore in modulo di $1$, pertanto si può dire che converge anche la serie proposta per il criterio del confronto asintotico.

 

FINE