Serie

  • Materia: Serie
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  • Data: 11/07/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Studiare il carattere della seguente serie $\\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{n + \\ln(n)}{(n + \\cos(n))^3}$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Studiare il carattere della seguente serie

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n + \ln(n)}{(n + \cos(n))^3}$

 


Il coseno è una funzione limitata fra $-1$ e $1$, pertanto $n + \cos(n) > 0$ $\forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$. Dato che $n + \ln(n) > 0$ $\forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ s ipuò concludere che la serie è a termini di segno positivo.

 

Osservando che

 

$\ln(n) < n \quad \forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$

 

allora

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n + \ln(n)}{(n + \cos(n))^3} < \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n + n}{(n + \cos(n))^3} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2n}{(n + \cos(n))^3}$ (1)

 

Calcolando il seguente limite, si vede che $\frac{2n}{(n + \cos(n))^3} ~ \frac{1}{n^2}$:

 

$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{2n}{(n + \cos(n))^3}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2n^3}{n^3 (1 + \frac{\cos(n)}{n^3})^3} = 2$

 

La serie

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$

 

converge, perché è una serie armonica con esponente maggiore di $1$, perciò in base a (1) si può affermare che la serie iniziale converge per il criterio del confronto.

 

FINE