Serie

  • Materia: Serie
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  • Data: 09/07/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Studiare il carattere della seguente serie $\\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{n!}{n^n}$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Studiare il carattere della seguente serie a termini di segno positivo

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{n^n}$

 


La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta solo se

 

 

$\lim_{n \to +\infty} \frac{n!}{n^n} = 0$

 

$\lim_{n \to +\infty} \frac{n!}{n^n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^n e^{-n} \sqrt{2 \pi n}}{n^n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{2 \pi n}}{e^n} = 0$

 

In questo limite è stata usata l'approssimazione di Stirling, secondo cui $n! \approx n^n e^{-n} \sqrt{2 \pi n}$. Dato che

 

$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \frac{n^n}{n!} =$

 

$ = \lim_{n \to +\infty} \frac{(n+1)!}{n!} \frac{1}{n+1} \frac{n^n}{(n+1)^n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n+1}{n+1} (\frac{n}{n+1})^n =$

 

$ = \lim_{n \to +\infty} (\frac{n+1-1}{n+1})^{n+1-1} = \lim_{n \to +\infty} (1 - \frac{1}{n+1})^{n+1} \cdot (1 - \frac{1}{n+1})^{-1} = e^{-1} = \frac{1}{e} < 1$

 

Pertanto la serie proposta converge per il criterio del rapporto.

 

FINE