Serie

  • Materia: Serie
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  • Data: 09/07/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Studiare il carattere della seguente serie $\\sum_{n = 0}^{+\\infty} \\sin(\\frac{n+2}{n^3 + 4})$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Studiare il carattere della seguente serie

 

$\sum_{n = 0}^{+\infty} \sin(\frac{n+2}{n^3 + 4})$


$\lim_{n \to +\infty} \sin(\frac{n+2}{n^3 + 4}) = \sin(0) = 0$
pertanto la condizione necessaria per la convergenza è verificata. Sfruttando il limite notevole del seno si nota che
$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin(\frac{n+2}{n^3 + 4})}{\frac{n+2}{n^3 + 4}} = 1$
dunque $\sin(\frac{n+2}{n^3 + 4}) ~ \frac{n+2}{n^3 + 4}$. D'altra parte
$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{n+2}{n^3 + 4}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n+2}{n^3 + 4} \cdot n^2 = 1$
pertanto $\frac{n+2}{n^3 + 4} ~ \frac{1}{n^2}$. Quindi la serie proposta converge se e solo se risulta convergente
$\sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$
Ma questa è una serie armonica con esponente maggiore di $1$, ed è quindi convergente, di conseguenza la serie iniziale converge per il criterio del cofnronto asintotico.
FINE