Serie

  • Materia: Serie
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  • Data: 07/07/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Studiare il carattere della seguente serie$\\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{1}{\\sqrt{n^3 - n}$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Studiare il carattere della seguente serie

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n^3 - n}$

 


Dato che

 

 

$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{n^3 - n}}}{\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}} = \lim_{n to +\infty} \frac{n^{\frac{3}{2}}}{n^{\frac{3}{2}} \sqrt{1 - n^{-\frac{1}{2}}}} = 1$

 

allora

 

$\frac{1}{\sqrt{n^3 - n}} ~ \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$

 

La serie armonica

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}$

 

converge per $\alpha > 1$, quindi anche

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$

 

di conseguenza la serie proposta converge per il criterio del contronto asintotico.

 

FINE