Serie

  • Materia: Serie
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  • Data: 13/07/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Studiare il carattere della seguente serie$sum_{n=1}^{+infty} \\frac{\\sin(n) + (-1)^n n}{n^2}$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Studiare il carattere della seguente serie

 

$\sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{\sin(n) + (-1)^n n}{n^2}$

 


La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta, infatti

 

 

$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin(n) + (-1)^n n}{n^2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\sin(n)}{n^2} + \frac{(-1)^n}{n} = 0 + 0 = 0$

 

Si considerino separatamente le seguenti due serie

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(n)}{n^2}$ (1)

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{n}{n^2} = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{n}$ (2)

 

Si nota che (1) è una serie a termini di segno variabile. Per studiare la convergenza assoluta di tale serie occorre considerare

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} |\frac{\sin(n)}{n^2}| = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{|\sin(n)|}{n^2}$ (3)

 

Dato che $|\sin(n)| < 1$ $\forall n \in \mathbb{N}$, allora (3) è maggiorata da

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$

 

che è una serie armonica con esponente maggiore di $1$, e quindi convergente. Di conseguenza (3) converge per il criterio del confronto, pertanto (1) converge assolutamente, quindi anche semplcimente. Si consideri ora

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{n}$

 

Questa è una serie a termini di segno alterni che converge per il criterio di Leibniz, visto che

 

$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$

 

$\frac{1}{n} > \frac{1}{n+1}$ $\forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$

 

Dato che (1) e (2) converge, allora converge anche

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(n)}{n^2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{n}$

 

e risulta

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(n)}{n^2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{n} = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{\sin(n) + (-1)^n n}{n^2}$

 

pertanto anche la serie iniziale converge.

 

FINE