Serie

  • Materia: Serie
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  • Data: 13/07/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

$\\sum_{n=1}^{+\\infty} \\frac{(-1)^n}{\\sqrt{n}}$ stabilire se converge assolutamente e/o semplic

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Stabilire se la seguente serie a termini di segno variabile converge assolutamente e/o semplicemente
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$
 
La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta, visto che
$\lim_{n \to +\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$
Per studiare la convergenza assoluta, si deve considerare la serie
$\sum_{n=1}^{+\infty} |\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}| = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{|(-1)^n|}{|\sqrt{n}|} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$
che è una serie armonica con esponente minore di uno, e diverge, pertanto la serie proposta non converge assolutamente. Visto la presenza del termine $(-1)^n$, e considerando che $\sqrt{n} > 0$ $\forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$, la serie è a termini di segno alterno.
$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$ (1)
$\frac{1}{\sqrt{n}} > \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$ (2)
Da (1) e da (2) si nota che le ipotesi del criterio di Leibniz sono soddisfatte, pertanto la serie iniziale converge semplicemente.
FINE