Studio di Funzione

  • Materia: Studio di Funzione
  • Visto: 3502
  • Data: 01/12/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Discontinuità: $lim_(x->1)(x^2+|x-1|-1)/(x-1)$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

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Si calcoli

$lim_(x->1)(x^2+|x-1|-1)/(x-1)$


Vediamo che innanzitutto, procedendo per sostituzione

$lim_(x->1)(x^2+|x-1|-1)/(x-1)=0/0$

si ottiene una forma indeterminata.

 

Vediamo che è presente un valore assoluto con argomento $x-1$

Discutiamolo, supponenedo prima che $x$ tenda a $1$ da sinistra, ovvero $x->1^-$

Si ha a questo punto

$x-1<0$, quindi $|x-1|=-x+1$.

In questo caso: $lim_(x to 1^-)(x^2-x+1-1)/(x-1)=lim_(x to 1^-)(x(x-1))/(x-1)=lim_(x to 1^-)x=1$.

I calcoli sono abbastanza semplici.

 

Ora immaginiamo che $x$ tenda a $1$ da destra, quindi $x->1^+$

quindi si ha che

$x-1>0$

e $|x-1|=x-1$

Procediamo:

$lim_(x to 1^+)(x^2+x-1-1)/(x-1)=lim_(x to 1^+)(x^2+x-2)/(x-1)$.

Scomponendo in fattori il numeratore, ottieniamo:

$lim_(x to 1^+)(x^2+x-2)/(x-1)=lim_(x to 1^+)((x-1)(x+2))/(x-1)=lim_(x to 1^+)x+2=3$.

 

Dato che i limiti "da sinistra" e "da destra" sono diversi, il limite per $x->1$ non esiste.

 

Possiamo dire che la funzione è discontinua in $1$, e la discontinuita è del tipo "con salto", prima specie.

 

FINE