Descrizione: esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Studiare il grafico della seguente funzione reale di variabile reale

 

$f(x) = x e^{-\frac{1}{x}}$

 

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Il prodotto fra due termini è definito laddove sono definiti i due fattori, allo stesso modo un esponenziale è definito laddove è definito l'esponente, pertanto il dominio massimale di questa funzione è

 

$\{x \in \mathbb{R}: x \ne 0\}$

 

Dato che $f(x) \ne f(-x)$ e allo stesso tempo $f(x) \ne -f(-x)$ la funzione non è né pari né dispari. Visto che $f$ è data dalla composizione di funzioni continue, allora nel suo dominio è continua.

$f(x) = o \quad \implies \quad x=0$, considerando che tale punto non appartiene al dominio, si deduce che non ci sono intersezioni fra il grafico della funzione e gli assi cartesiani.

 

$e^{-\frac{1}{x}} > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$

 

pertanto la funzione è positiva se $x>0$ e negativa se $x < 0$.

 

$\lim_{x \to 0^{+}}x e^{-\frac{1}{x}} = 0 \cdot e^{-\infty} = 0$

 

$\lim_{x \to 0^{-}} = x e^{-\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}$

 

Sfruttando il teorema di de l'Hopital si ottiene

 

$\lim_{x \to  0^{-}} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{e^{-\frac{1}{x}} \frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^{-}} e^{-\frac{1}{x}} = -\infty$

 

Pertanto il grafico della funzione ammette come asintoto verticale sinistro la retta di equazione $x=0$.

 

$\lim_{x \to +\infty} x e^{-\frac{1}{x}} = +\infty$

 

$\lim_{x \to -\infty} x e^{-\frac{1}{x}} = -\infty$

 

quindi non ci sono asintoti orizzontali.

 

$m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x e^{-\frac{1}{x}}}{x} = 1$

 

 $q = \lim_{x \to \pm \infty} x e^{-\frac{1}{x}} - x = \lim_{x \to \pm \infty} x (e^{-\frac{1}{x}} - 1) = \lim_{x \to \pm \infty} - \frac{e^{-\frac{1}{x}} - 1}{-\frac{1}{x}} = -1$

 

dove all'ultimo passaggio è stato sfruttato il limite notevole

 

$\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1$

 

Dai calcoli precedenti si nota che la funzione ammette un asintoto obliquo di equazione $y = x - 1$.

La derivata priam dela funzione vale

 

$f'(x) = e^{-\frac{1}{x}}  + x e^{-\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} = e^{-\frac{1}{x}} (1 + \frac{1}{x})$

 

La $f$ è data dalla composizione continue e derivabili, pertanto nel suo dominio è continua e derivabile.

 

$f'(x) = o \implies 1 + \frac{1}{x} = 0 \implies x = -1$

 

$f'(x) > 0 \implies 1 + \frac{1}{x} > 0 \implies x < -1$

 

Dato che in $-1$ la funzione passa da essere crescente a decrescente, considerando che $f(-1) = -e$, si deduce che il punto $(-1, -e)$ è un minimo. Visto che $-e < -1 -1$ si nota che il minimo si trova sotto all'asintoto obliquo, ovvero nella parte di piano $y \le x - 1$.

La derivata seconda della funzione vale

 

$f''(x) = e^{-\frac{1}{x}}  \frac{1}{x^2} + (-\frac{1}{x^2}) e^{-\frac{1}{x}} + \frac{1}{x^3} e^{-\frac{1}{x}} = \frac{1}{x^3} e^{-\frac{1}{x}}$

 

La derivata seconda non si annulla mai, pertanto non ci sono punti di flesso a tangente obliqua. Dal segno della derivata seconda si nota che la funzione è concava per $x < 0$ e convessa per $x > 0$. Dai calcoli svolti si può concludere che non ci sono intersezioni fra il grafico della funzione e l'asintoto obliquo.

L'immagine della funzione coincide con l'insieme

 

$(-\infty, -e] \cup (0, +\infty)$

 

Questo è il grafico della funzione

 

 

FINE