Studio di Funzione

  • Materia: Studio di Funzione
  • Visto: 6459
  • Data: 22/09/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Trovare gli asintoti$y=(2-x)/(sqrt(x^2-2+x))$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Trovare gli asintoti verticali e orizzontali del grafico della seguente funzione

$y=(2-x)/(sqrt(x^2-2+x))$



Eseguiamo i limiti opportuni

Per gli asintoti verticali:

$f(x)=(2-x)/(sqrt((x+2)(x-1)))$


$lim_(x->1^+)(2-x)/(sqrt((x+2)(x-1)))=1/(0^+)=+infty$

$lim_(x->-2^-)(2-x)/(sqrt((x+2)(x-1)))=4/(0^+)=+infty$
Quindi $x=1,x=-2$ sono asintoti verticali

Occupiamoci di eventuali asintoti orizzontali

Mettendo in evidenza $x^2$ al radicando si ha
$lim_(x->+infty)(2-x)/(sqrt(x^2+x-2))=lim_(x->+infty)(2-x)/(sqrt(x^2(1+1/x-2/(x^2))))$

Portando fuori dalla radice $x^2$ mettiamo a moltiplicare la radice un $|x|$ ma poichè $xto infty$ abbiamo che $|x|=x$ pertanto $lim_(x->+infty)(2-x)/(x*sqrt(1+1/x-2/(x^2)))=lim_(x->+infty)(2-x)/x=-1$

Infatti la radice è stata omessa perchè il radicando tendeva a $1$ e inoltre si è trascurato il $2$ a numeratore, insignificante rispetto all'infinito della $x$. 

Passiamo ora al limite per $xto -infty$
$lim_(x->-infty)(2-x)/(sqrt(x^2+x-2))=lim_(x->-infty)(2-x)/(sqrt(x^2(1+1/x-2/(x^2))))$

Il ragionamento è uguale al precedente, ma questa volta dobbiamo ricordare che $|x|=-x$ poichè $x<0$

$lim_(x->-infty)(2-x)/(-x*sqrt(1+1/x-2/(x^2)))=1$

Trascurando sempre il $2$ e la radice, si ottiene

$lim_(x->-infty)(-x)/(-x)=1$

quindi $y=+-1$ sono asintoti orizzontali

FINE