Terza Prova - Matematica

  • Materia: Terza Prova - Matematica
  • Visto: 1960
  • Data: 14/06/2012
  • Di: Redazione StudentVille.it

Teorema di Cauchy

Esponi il teorema

L’enunciato del teorema dice: se le funzioni f(x) e g(x) sono due funzioni continue in un intervallo chiuso [a,b] e derivabili nello stesso intervallo aperto e se la derivata di g(x) non si annulla nell’intervallo allora esiste un punto interno all’intervallo in cui $(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=(f'(c))/(g'(c))$
Si può subito osservare che sicuramente g(b)-g(a) non può essere uguale a 0 in quanto in questo caso per il teorema di Rolle vi sarebbe un punto in cui la derivata sarebbe nulla in contrasto con l’ipotesi.
Tale teorema si chiama anche degli incrementi finiti in quanto valuta il rapporto fra l’incremento di due funzioni con il rapporto, in un punto opportuno, delle relative derivate.
Esempio: f(x)=2x e g(x)= x2 in [-1,1] in questo caso non si può applicare perchè la derivata di g(x) si annulla in zero.
Si può eventualmente invertire il rapporto fra le due funzioni se la g(x) non soddisfa le condizioni del teorema mentre f(x) le soddisfa. Per esempio f(x)=senx, g(x) = cosx nell’intervallo –π /2, + π /2 in questo caso la derivata di g(x) si annulla in 0 mentre la derivata di senx non si annulla quindi si può applicare il teorema invertendo il rapporto.

Tags: