Trigonometria

  • Materia: Trigonometria
  • Visto: 2785
  • Data: 01/07/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

$1/(cos^2x)-cos^2x-tan^2x=1/2$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Trovare le radici dell'equazione

$1/(cos^2x)-cos^2x-tan^2x=1/2$


Anzitutto è necessario imporre le debite condizioni. In questo caso, occorre che il denominatore della frazione sia diverso da zero

$cos^2x!=0$

$cosx!=0$

$x!=pi/2+kpi$

Ora possiamo procedere con l'equazione, e moltiplichiamo ambo i membri per $cos^2x$

$1-cos^4x-tan^2x*cos^2x=(cos^2x)/2$

$1-cos^4x-(sin^2x)/(cos^2x)*cos^2x=(cos^2x)/2$

$1-cos^4x-sin^2x=(cos^2x)/2$

e ricordando che

$1-sin^2x=cos^2x$

scriviamo

$cos^2x-cos^4x-(cos^2x)/2=0$

$cos^4x-(cos^2x)/2=0$

raccogliendo $cos^2x$

$cos^2x(cos^2x-1/2)=0$

Il primo fattore $cos^2x$ potrebbe essere una radice, ma la condizione iniziale esclude ciò, pertanto solo la parentesi può annullarsi.

$cos^2x-1/2=0$

$cosx=1/sqrt2$

$cosx=-1/sqrt2$

Queste due equazioni sono soddisfatte dall'insieme di soluzioni del tipo

$x=pi/4+kpi$

con $k$ intero.

 

In realtà l'equazione poteva essere risolta più rapidamente osservando che

$1/(cos^2x)=1+tan^2x$

identità che si può ricavare a partire da

$sin^2x+cos^2x=1$ e dividendo tutto per $cos^2x$

FINE