Trigonometria

  • Materia: Trigonometria
  • Visto: 2512
  • Data: 09/01/2010
  • Di: Redazione StudentVille.it

$(4sin(60^\\circ+x)sin(60^\\circ-x))/(3sin^2(180^\\circ+x))-1/(tg^2(180^\\circ-x))$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Francesco Speciale

Semplificare la seguente espressione
$(4sin(60^\circ+x)sin(60^\circ-x))/(3sin^2(180^\circ+x))-1/(tg^2(180^\circ-x))$



$(4sin(60^\circ+x)sin(60^\circ-x))/(3sin^2(180^\circ+x))-1/(tg^2(180^\circ-x))$
Tenendo presente le formule di somma e differenza del seno e della tangente:

$sin(\alpha+\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)$
$sin(\alpha-\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)-cos(\alpha)sin(\beta)$
$tg(\alpha-\beta)=(tg(\alpha)-tg(\beta))/(1+tg(\beta)tg(\alpha))$

Riferendoci alla nosta espressione avremo:
$(4sin(60^\circ+x)sin(60^\circ-x))/(3sin^2(180^\circ+x))-1/(tg^2(180^\circ-x))=$
$(4(sin(60^\circ)cos(x)+cos(60^\circ)sin(x))(sin(60^\circ)cos(x)-cos(60^\circ)sin(x)))/(3(sin(180^\circ)cos(x)+cos(180^\circ)sin(x))^2)-1/(((tg(180^\circ)-tgx)/(1-tg(180^\circ)tgx))^2)=$
Essendo $cos(60^\circ)=1/2, sin(60^\circ)=(sqrt3)/2, cos(180^\circ)=-1, sin(180^\circ)=tg(180^\circ)=0$,
sostituendo nell'espressione otteniamo:
$(4((sqrt3)/2cosx+1/2sinx)((sqrt3)/2cosx-1/2sinx))/(3((-1)sin(x))^2)-1/((-tgx)^2)=$
$(4(3/4cos^2x-(sqrt3)/4sinxcosx+(sqrt3)/4sinxcosx-1/4sin^2x))/(3sin^2x)-1/(tg^2x)=$
$(3cos^2x-sin^2x)/(3sin^2x)-cotg^2x=(3cos^2x)/(3sin^2x)-(sin^2x)/(3(sin^2x))-cotg^2x=$
Semplificando
$cotg^2x-1/3-cotg^2x=-1/3$.