Trigonometria

  • Materia: Trigonometria
  • Visto: 2225
  • Data: 28/09/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

$5(sin^4x+cos^4x)=2(1+3sin^2xcos^2x)$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Risolvere

$5(sin^4x+cos^4x)=2(1+3sin^2xcos^2x)$.

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Iniziamo con una mossa astuta:

sommiamo al primo e secondo membro un addendo del tipo $10sin^2x*cos^2x$ ottenendo


$5(sin^4x+cos^4x)+10sin^2x*cos^2x=2(1+3sin^2xcos^2x)+10sin^2x*cos^2x$ da cui, raccogliendo opportunamente si ha


$5(sin^4x+cos^4x+2sin^2xcos^2x)=2+16sin^2xcos^2x

Ovvero

$5(sin^2x+cos^2x)^2=2+16sin^2xcos^2x$

Ma la parentesi al primo membrò non è altro che $1^2$, quindi possiamo ometterlo, e rimane solo $5$

$5=2+16sin^2xcos^2x$

$3=16sin^2xcos^2x$

$3=(4sinxcosx)^2$

$3=(2sin2x)^2

$sin2x=+-(sqrt3)/2$


Ora analizziamo:

$sin2x=sqrt3/2$

comporta che

$2x=pi/3+2kpi$

ovvero

$x=pi/6+kpi$

E inoltre il seno assume quel valore anche per

2x=2/3pi+2kpi$ ovvero

$x=pi/3+kpi$

 

mentre invece esaminando il valore $sqrt3/2$
$sin2x=sqrt3/2$

comporta che

$2x=-2/3pi+2kpi$

$x=-pi/3+kpi$

L'altro valore è

$2x=-pi/3+2kpi->x=-pi/6+kpi$

 

per cui le soluzioni sono
$x=+-pi/6+kpi$

$x=+-pi/3+kpi, k in ZZ$

 

FINE