Trigonometria

  • Materia: Trigonometria
  • Visto: 3235
  • Data: 09/01/2010
  • Di: Redazione StudentVille.it

Calcolare il valore esatto delle funzioni goniometriche del seguente arco: $105^\\circ$.

esercizio svolto o teoria

A cura di: Francesco Speciale

Calcolare il valore esatto delle funzioni goniometriche del seguente arco: $105^\circ$.


Svolgimento
Osserviamo che $(105^\circ)=(60^\circ)+(45^\circ)$; per le formule di addizione del seno, coseno e tangente, si ha:

$sin(\alpha+\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)$
$cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)$
$tg(\alpha+\beta)=(tg(\alpha)+tg(\beta))/(1-tg(\beta)tg(\alpha))$
Nel nostro caso $\alpha=60^\circ , \beta=45^\circ$, sostituendo otteniamo

$sin(105^\circ)=sin(60^\circ+45^\circ)=sin(60^\circ)cos(45^\circ)+cos(60^\circ)sin(45^\circ)=$
$=(sqrt3)/2((sqrt2)/2)+1/2(sqrt2)/2=(sqrt6)/4+(sqrt2)/4=1/4(sqrt6+sqrt2)$.
$cos(105^\circ)=cos(60^\circ+45^\circ)=cos(60^\circ)cos(45^\circ)-sin(60^\circ)sin(45^\circ)=$
$=(sqrt2)/2*1/2-(sqrt2)/2*(sqrt3)/2=(sqrt2)/4-(sqrt6)/4=1/4(sqrt2-sqrt6)$.
$tg(105^\circ)=tg(60^\circ+45^\circ)=(tg(60^\circ)+tg(45^\circ))/(1-tg(45^\circ)tg(60^\circ))=$
$=(sqrt3+1)/(1-(sqrt3*1))=(sqrt3+1)/(1-sqrt3)$.