Trigonometria

  • Materia: Trigonometria
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  • Data: 09/01/2010
  • Di: Redazione StudentVille.it

Calcolare il valore esatto delle funzioni goniometriche del seguente arco: $15^\\circ$.

esercizio svolto o teoria

A cura di: Francesco Speciale

Calcolare il valore esatto delle funzioni goniometriche del seguente arco: $15^\circ$.


Svolgimento
Osserviamo che $(15^\circ)=(45^\circ)-(30^\circ)$; per le formule di addizione del seno, coseno e tangente, si ha:

$sin(\alpha-\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)-cos(\alpha)sin(\beta)$
$cos(\alpha-\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)+sin(\alpha)sin(\beta)$
$tg(\alpha-\beta)=(tg(\alpha)-tg(\beta))/(1+tg(\beta)tg(\alpha))$
Nel nostro caso $\alpha=45^\circ , \beta=30^\circ$, sostituendo otteniamo

$sin(15^\circ)=sin(45^\circ-30^\circ)=sin(45^\circ)cos(30^\circ)-cos(45^\circ)sin(30^\circ)=$
$=(sqrt2)/2(sqrt3)/2-1/2(sqrt2)/2=(sqrt6)/(4)-(sqrt2)/(4)=1/4(sqrt6-sqrt2)$.
$cos(15^\circ)=cos(45^\circ-30^\circ)=cos(45^\circ)cos(30^\circ)+sin(45^\circ)sin(30^\circ)=$
$=(sqrt2)/2(sqrt3)/2+(sqrt2)/2*1/2=(sqrt6)/(4)+(sqrt2)/(4)=1/4(sqrt6+sqrt2)$
$tg(15^\circ)=tg(45^\circ-30^\circ)=(tg(45^\circ)-tg(30^\circ))/(1+tg(30^\circ)tg(45^\circ))=$
$=(1-(sqrt3)/3)/(1+(sqrt3)/3*1)=(1-sqrt3)/(1+sqrt3)$.