Trigonometria

  • Materia: Trigonometria
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  • Data: 09/01/2010
  • Di: Redazione StudentVille.it

Calcolare il valore esatto delle funzioni goniometriche del seguente arco: $48^\\circ$.

esercizio svolto o teoria

A cura di: Francesco Speciale

Calcolare il valore esatto delle funzioni goniometriche del seguente arco: $48^\circ$.


Svolgimento
Osserviamo che $(48^\circ)=(30^\circ)+(18^\circ)$; per le formule di addizione del seno, coseno e tangente, si ha:

$sin(\alpha+\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)$
$cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)$
$tg(\alpha+\beta)=(tg(\alpha)+tg(\beta))/(1-tg(\beta)tg(\alpha))$
Nel nostro caso $\alpha=30^\circ , \beta=18^\circ$, sostituendo otteniamo

$sin(48^\circ)=sin(30^\circ+18^\circ)=sin(30^\circ)cos(18^\circ)+cos(30^\circ)sin(18^\circ)=$
$=1/2(1/4(sqrt(10+2sqrt5)))+(sqrt3)/2*1/4(sqrt5-1)=(sqrt(10+2sqrt5))/8+(sqrt(15)-sqrt3)/8=1/8(sqrt(10+2sqrt5)+sqrt(15)-sqrt3)$.
$cos(48^\circ)=cos(30^\circ+18^\circ)=cos(30^\circ)cos(18^\circ)-sin(30^\circ)sin(18^\circ)=$
$=(sqrt3)/2*(1/4(sqrt(10+2sqrt5)))-1/2*1/4(sqrt5-1)=(sqrt3)/8(sqrt(10+2sqrt5))-1/8(sqrt5-1)=1/8(sqrt(3(10+2sqrt5))-sqrt5+1)$.
$tg(48^\circ)=tg(30^\circ+18^\circ)=(tg(30^\circ)+tg(18^\circ))/(1-tg(18^\circ)tg(30^\circ))=$
$=((sqrt3)/3+sqrt(1-2/5sqrt5))/(1-(sqrt3)/3*(sqrt(1-2/5sqrt5)))=((sqrt3+3sqrt(1-2/5sqrt5))/3)/((3-sqrt3-6/5sqrt5)/3)=$
$=(sqrt3+3sqrt(1-2/5sqrt5))/(3-sqrt3-6/5sqrt5)$.