Trigonometria

  • Materia: Trigonometria
  • Visto: 2055
  • Data: 09/01/2010
  • Di: Redazione StudentVille.it

Calcolare il valore esatto delle funzioni goniometriche del seguente arco: $75^\\circ$.

esercizio svolto o teoria

A cura di: Francesco Speciale

Calcolare il valore esatto delle funzioni goniometriche del seguente arco: $75^\circ$.


Svolgimento
Osserviamo che $(75^\circ)=(30^\circ)+(45^\circ)$; per le formule di addizione del seno, coseno e tangente, si ha:

$sin(\alpha+\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)$
$cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)$
$tg(\alpha+\beta)=(tg(\alpha)+tg(\beta))/(1-tg(\beta)tg(\alpha))$
Nel nostro caso $\alpha=30^\circ , \beta=45^\circ$, sostituendo otteniamo

$sin(75^\circ)=sin(30^\circ+45^\circ)=sin(30^\circ)cos(45^\circ)+cos(30^\circ)sin(45^\circ)=$
$=1/2((sqrt2)/2)+(sqrt3)/2*(sqrt2)/2=(sqrt2)/4+(sqrt6)/4=1/4(sqrt2+sqrt6)$.
$cos(75^\circ)=cos(30^\circ+45^\circ)=cos(30^\circ)cos(45^\circ)-sin(30^\circ)sin(45^\circ)=$
$=(sqrt3)/2*(sqrt2)/2-1/2*(sqrt2)/2=(sqrt6)/4-(sqrt2)/4=1/4(sqrt6-sqrt2)$.
$tg(75^\circ)=tg(30^\circ+45^\circ)=(tg(30^\circ)+tg(45^\circ))/(1-tg(45^\circ)tg(30^\circ))=$
$=((sqrt3)/3+1)/(1-(sqrt3)/3*1)=((sqrt3+3)/3)/((3-sqrt3)/3)=(sqrt3+3)/(3-sqrt3)$.