Trigonometria

  • Materia: Trigonometria
  • Visto: 2913
  • Data: 06/01/2008
  • Di: Redazione StudentVille.it

$sin2x-sin4x+sin6x=sin4x(2cos2x-1)$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Si dimostri la seguente identità

$sin2x-sin4x+sin6x=sin4x(2cos2x-1)$


Iniziamo ad operare sul primo membro

$sin2x-sin4x+sin6x=sin2x-sin4x+sin(4x+2x)=sin2x-sin4x+sin4xcos2x+sin2xcos4x$

Abbiamo usato la nota formula della somma.

Ora raccogliamo $sin2x$ nel primo e ultimo due addendo, e $sin4x$ negli altri due

$sin2x(1+cos4x)+sin4x(cos2x-1)$

Ricordiamo inoltre che $1+cos4x=2cos^2 2x$, perciò si ha

$sin2x(2cos^2 2x)+sin4x(cos2x-1)=$

$=2sin2xcos^2 2x+sin4x(cos2x-1)$

Ma osservando che $2sin2xcos^2 2x$ può essere scritto come $2sin2xcos2x*cos2x$ possiamo eseguire una duplicazione in questo modo

$sin4xcos2x+sin4x(cos2x-1)$

Finalmente, raccogliendo a fattor comune $sin4x$ si ottiene

$sin4x(2cos2x-1)$

che è il secondo membro dell'identità, che perciò è vera.

FINE