Trigonometria

  • Materia: Trigonometria
  • Visto: 1533
  • Data: 09/01/2010
  • Di: Redazione StudentVille.it

$sqrt(sin^2(105^\\circ)+cos^2(15^\\circ)-2sin(60^\\circ)cos(60^\\circ))$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Francesco Speciale

Calcolare il valore della seguente espressione:
$sqrt(sin^2(105^\circ)+cos^2(15^\circ)-2sin(60^\circ)cos(60^\circ))$


$sqrt(sin^2(105^\circ)+cos^2(15^\circ)-2sin(60^\circ)cos(60^\circ))$
Noi sappiamo che $sin(105^\circ)=sin(60^\circ+45^\circ)=sin(60^\circ)cos(45^\circ)+cos(60^\circ)sin(45^\circ)=$
$=(sqrt3)/2((sqrt2)/2)+1/2(sqrt2)/2=(sqrt6)/4+(sqrt2)/4=1/4(sqrt6+sqrt2)$,
$sin(60^\circ)=(sqrt3)/2 , cos(60^\circ)=1/2$,
$cos(15^\circ)=cos(45^\circ-30^\circ)=cos(45^\circ)cos(30^\circ)+sin(45^\circ)sin(30^\circ)=$
$=(sqrt2)/2(sqrt3)/2+(sqrt2)/2*1/2=(sqrt6)/(4)+(sqrt2)/(4)=1/4(sqrt6+sqrt2)$,

sostituiamo i valori noti nell'espressione e risolviamola:
$=sqrt((1/4(sqrt6+sqrt2))^2+(1/4(sqrt6+sqrt2))^2+2*((sqrt3)/2)*1/2)=$
$=sqrt(2(1/4(sqrt6+sqrt2))^2-(sqrt3)/2)=sqrt(2(1/(16)(6+2+2sqrt(12)))-(sqrt3)/2)=$
$=sqrt(1/8(8+4sqrt3)-(sqrt3)/2)=sqrt(1+1/2sqrt3-(sqrt3)/2)=sqrt1=1$.