Trigonometria problemi

  • Materia: Trigonometria problemi
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  • Data: 10/01/2010
  • Di: Redazione StudentVille.it

Calcolare il perimetro di un triangolo rettangolo, sapendo che l\'area è di $120cm^2$ e $\\beta=arcsin

esercizio svolto o teoria

A cura di: Francesco Speciale

Calcolare il perimetro di un triangolo rettangolo, sapendo che l'area è di $120cm^2$ e $\beta=arcsin=5/(13)$.


Svolgimentotrian_rett_trig1.png

 

 

 

 

 

Dati
$\alpha=90^\circ$
$A=120cm^2$
$\beta=arcsin=5/(13)$

Sappiamo che $\beta=arcsin=5/(13)$ => \beta=22,62^\circ$.
Quindi poichè la somma degli angoli interni di un triangolo è di $180^\circ$, ovvero
$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$
si ha che
$90^\circ+22,62^\circ+\gamma=180^\circ => \gamma=180^\circ-90^\circ-22,62^\circ=67,38^\circ$.
Pertanto $\gamma=67,38^\circ$.

In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa
per il seno dell'angolo opposto al cateto stesso.
$b=asin(\beta)$, inoltre l'area di un triangolo è data dal semiprodotto di due lati per il seno dell'angolo compreso:
$A=1/2ab(sin(\gamma))=120cm^2$.
Mettiamo a sistema le due equazioni ricavate e riolviamolo per sostituzione
$\{(1/2ab(sin(\gamma))=120),(b=asin(\beta)):}$;
$\{(1/2a(asin(\beta))sin(\gamma)=120),(b=asin(\beta)):}$;
$\{(1/2a^2sin(\beta)sin(\gamma)=120),(b=asin(\beta)):}$;
$\{(a^2=(120*2)/(sin(\beta)sin(\gamma))),(b=asin(\beta)):}$;
$\{(a^2=(240)/(sin(22,62^\circ)sin(67,38^\circ))),(b=asin(\beta)):}$;
$\{(a^2=686),(b=asin(\beta)):}$;
$\{(a=26),(b=26*sin(22,62^\circ)):}$;
$\{(a=26),(b=10):}$.

Per il Teorema di pitagora
$c=sqrt(a^2-b^2)=sqrt((26cm)^2-(10cm)^2)=sqrt((686cm^2)-(100cm^2))=sqrt(586)cm=24cm$.
Pertanto il perimetro del triangolo, dato dalla somma dei lati
$2p=a+b+c=(26+10+24)cm=60cm$.