Trigonometria problemi

  • Materia: Trigonometria problemi
  • Visto: 9164
  • Data: 10/01/2010
  • Di: Redazione StudentVille.it

Calcolare il perimetro di un triangolo rettangolo, sapendo che l\'area è di $24cm^2$ e $tg(\\beta)=3/4

esercizio svolto o teoria

A cura di: Francesco Speciale

Calcolare il perimetro di un triangolo rettangolo, sapendo che l'area è di $24cm^2$ e $tg(\beta)=3/4$.


Svolgimento

trian_rett_trig1.png

 

 

 

 

Dati
$\alpha=90^\circ$
$A=24cm^2$
$tg(\beta)=3/4$

 

Sappiamo che $tg(\beta)=3/4 => \beta=arctg(3/4)=36,87^\circ$.
Quindi poichè la somma degli angoli interni di un triangolo è di $180^\circ$, ovvero
$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$
si ha che
$90^\circ+36,87^\circ+\gamma=180^\circ => \gamma=180^\circ-90^\circ-36,87^\circ=53,13^\circ$.
Pertanto $\gamma=53,13^\circ$.

In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa
per il seno dell'angolo opposto al cateto stesso.
$b=asin(\beta)$, inoltre l'area di un triangolo è data dal semiprodotto di due lati per il seno dell'angolo compreso:
$A=1/2ab(sin(\gamma))=24cm^2$.
Mettiamo a sistema le due equazioni ricavate e riolviamolo per sostituzione
$\{(1/2ab(sin(\gamma))=24cm^2),(b=asin(\beta)):}$;
$\{(1/2a(asin(\beta))sin(\gamma)=24),(b=asin(\beta)):}$;
$\{(1/2a^2sin(\beta)sin(\gamma)=24),(b=asin(\beta)):}$;
$\{(a^2=(24*2)/(sin(\beta)sin(\gamma))),(b=asin(\beta)):}$;
$\{(a^2=(48)/(sin(36,87^\circ)sin(53,13^\circ))),(b=asin(\beta)):}$;
$\{(a^2=100),(b=asin(\beta)):}$;
$\{(a=10),(b=10*sin(36,87^\circ)):}$;
$\{(a=10),(b=6):}$.

Per il Teorema di pitagora
$c=sqrt(a^2-b^2)=sqrt((10cm)^2-(6cm)^2)=sqrt((100cm^2)-(36cm^2))=sqrt(64)cm=8cm$.
Pertanto il perimetro del triangolo, dato dalla somma dei lati
$2p=a+b+c=(10+6+8)cm=24cm$.