Trigonometria problemi

  • Materia: Trigonometria problemi
  • Visto: 22675
  • Data: 04/10/2008
  • Di: Redazione StudentVille.it

Calcolare la misura dell\'angolo che un cateto di un triangolo rettangolo forma con l\'ipotenusa...

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

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Calcolare la misura dell'angolo che un cateto di un triangolo rettangolo forma con l'ipotenusa, sapendo che il rapporto tra la sua proiezione sull'ipotenusa e l'altro cateto vale $1/(2*sqrt3).


 

Detto A il vertice dell'angolo retto, chiamiamo l'angolo $\hat{ACB}$ con x (e questo è l'angolo tra il cateto $AC$ e l'ipotenusa $CB$). Posto $0<x<90$, si sa che $(\bar{CH})/(\bar{AB})=1/(2sqrt(3))$, con H piede dell'altezza relativa all'ipotenusa; ma $\bar{CH}=\bar{AC}cosx$ e $\bar{AH}=\bar{AC}sinx$, considerando il triangolo rettangolo $ACH$.

Se ora considero il triangolo rettangolo $ABH$, in cui $\hat{HAB}$ è ampio x, ho che $\bar{AB}=(\bar{AC}sinx)/cosx$.

Ora $(\bar{CH})/(\bar{AB})=((\bar{AC}cosx)/((\bar{AC}sinx)/cosx))=1/(2sqrt(3))$

cioe  $(cos^2x)/(sinx)=1/(2sqrt(3))$

Risolvendo l'equazione troviamo l'ampiezza di x.
Facciamo il denominatore comune, ponendo $sinx!=0$. Ottieniamo:

$2sqrt(3)cos^2x-sinx=0$

Ora ricordiamo che $cos^2x=1-sin^2x$, perciò $2sqrt(3)-2sqrt(3)sin^2x-sinx=0$.
Ordinando e cambiando i segni:

$2sqrt(3)sin^2x+sinx-2sqrt(3)=0$

Ora applicando la formula risolutiva:

$sinx=(-1+-sqrt(1+48))/(4sqrt(3))=(-1+-7)/(4sqrt(3))$

$sinx=-2sqrt(3)/3$ che non è accettabile

$sinx=sqrt(3)/2$, da cui $x=60°$

FINE