Trigonometria problemi

  • Materia: Trigonometria problemi
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  • Data: 10/01/2010
  • Di: Redazione StudentVille.it

Determinare l\'ipotenusa di un triangolo rettangolo sapendo che la somma dei seni dei due angoli acut

esercizio svolto o teoria

A cura di: Francesco Speciale

Determinare l'ipotenusa di un triangolo rettangolo sapendo che la somma dei seni dei due angoli acuti
è $(17)/(13)$ e che il cateto minore è $5x$



Svolgimento

Noi sappiamo che $sin(\beta)+sin(\gamma)=(17)/(13)$
Per le formule di prostaferesi:
$sinp+sinq=2sin((p+q)/2)cos((p-q)/2)$
Quindi poichè la somma degli angoli interni di un triangolo è di $180^\circ$, ovvero
$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$
si ha che
$90^\circ+\beta+\gamma=180^\circ => \beta+\gamma=180^\circ-90^\circ=90^\circ$.
Pertanto
$(17)/(13)=sin(\beta)+sin(\gamma)=2sin((\beta+\gamma)/2)cos((\beta-\gamma)/2)=2sin(45^\circ)cos((\beta-\gamma)/2)=$
$=2*(sqrt2)/2cos((\beta-\gamma)/2)=sqrt2cos((\beta-\gamma)/2) =>  cos((\beta-\gamma)/2)=(17)/(13sqrt2)=(17sqrt2)/(26)$.
Quindi $(\beta-\gamma)/2=arccos((17sqrt2)/(26))=22,38^\circ$.

Mettiamo a sistema le due equazioni trovate, $(\beta-\gamma)/2=22,38^\circ$ e $(\beta+\gamma)/2=45^\circ$, e
risolviamolo per sostituzione
$\{((\beta+\gamma)/2=45^\circ),((\beta-\gamma)/2=22,38^\circ):}$;
$\{((\beta+\gamma)=90^\circ),((\beta-\gamma)/2=22,38^\circ):}$;
$\{((\beta)=90^\circ-\gamma),((90^\circ-\gamma-\gamma)/2=22,38^\circ):}$;
$\{((\beta)=90^\circ-\gamma),((90^\circ-2(\gamma))/2=22,38^\circ):}$;
$\{((\beta)=90^\circ-\gamma),(45^\circ-(\gamma)=22,38^\circ):}$;
$\{((\beta)=90^\circ-\gamma),((\gamma)=22,62^\circ):}$;
$\{((\beta)=90^\circ-22,62^\circ=67,38^\circ),((\gamma)=22,62^\circ):}$.
Quindi $(\gamma)=22,62^\circ$ e $(\beta)=67,38^\circ$.

In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa
per il seno dell'angolo opposto al cateto stesso.
$c=asin(\gamma) => a=c/(sin(\gamma))=(5x)/(sin(22,62^\circ))=13x$.