Trigonometria problemi

  • Materia: Trigonometria problemi
  • Visto: 14155
  • Data: 03/04/2008
  • Di: Redazione StudentVille.it

Risoluzione di un triangolo isoscele

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

E' dato un triangolo isoscele, di cui conosciamo la base $b=16$ e l'area $S=(64sqrt(3))/3$.
Identificare il triangolo trovando l'altezza, gli altri due lati e gli angoli.




Iniziamo dai dati che abbiamo. Osserviamo che l'altezza è immediatamente calcolabile, infatti risulta essere
$h=\frac{2*S}{b}$, e sostituendo i dati
$h=\frac{2*S}{b}=\frac{2*\frac{64\sqrt{3}}{3}}{16}=\frac{128\sqrt{3}}{3}*\frac{1}{16}=\frac{8}{3}\sqrt{3}$

Ora bisogna trovare la lunghezza di uno dei due lati diversi dalla base del triangolo isoscele.
Tracciando l'altezza $h$ relativa alla base $b$, possiamo trovare il lato $a$ considerandolo ipotenusa del triangolo rettangolo che si viene a formare (metà triangolo isoscele). I cateti risultano essere $b/2$ e $h$
Si ha
$b=\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + h^2}=\sqrt{8^2 + (\frac{8}{3}\sqrt{3})^2}=\sqrt{64 + \frac{64}{9}3}=\sqrt{64 + \frac{64}{3}}=\sqrt{\frac{64*4}{3}}=\frac{8*2}{\sqrt{3}}$
Razionalizzando
$\frac{16}{3}\sqrt{3}$

Passiamo ora agli angoli.
Lavorando sempre sul triangolo rettangolo considerato sopra, possiamo calcolare il seno dell'angolo alla base, poiché sussiste, per un noto teorema riguardante i triangoli rettangoli,
$h=b * sen\theta$
Ovvero
$sen\theta=\frac{h}{b}$
Sostituendo i dati
$\frac{\frac{8}{3}\sqrt{3}}{\frac{16}{3}\sqrt{3}}=\frac{8}{3}\sqrt{3}*\frac{3}{16}*\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$
Ma se il seno di $theta$ vale $1/2$, significa che
$\theta=\frac{\pi}{6}$
risolvendo la banale equazione goniometrica.
In realtà l'equazione goniomietrica
$sintheta=1/2$ restituirebbe anche la soluzione $theta=5pi/6$ ma dobbiamo scartarla, infatti il triangolo isoscele in questo modo avrebbe due angoli ottusi, assurdo.

Gli angoli alla base, in un triangolo isoscele, sono congruenti, perciò anche l'altro angolo risulta essere ampio $pi/6$
L'angolo alla base può essere calcolato per differenze: sappiamo che la somma degli angoli interni vale $pi$, perciò possiamo scrivere, detto $\alpha$ l'angolo da trovare,
$alpha+theta+theta=pi$
ovvero
$alpha+pi/6+pi/6=pi$
da cui facilmente
$alpha=(2pi)/3$

FINE