Descrizione: esercizio svolto o teoria

A cura di: Francesco Speciale

Risolvere un triangolo rettangolo sapendo che l'ipotenusa è di $12cm$ e l'area di $18sqrt3cm^2$

Svolgimento

Dati
$\alpha=90^\circ$
$a=12cm$
$A=18sqrt3cm^2$

La somma degli angoli interni di un triangolo è di $180^\circ$, ovvero
$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$
si ha che
$90^\circ+\beta+\gamma=180^\circ => \beta+\gamma=180^\circ-90^\cir=90^\circ$.
In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa
per il seno dell'angolo opposto al cateto stesso.
$b=asin(\beta)$, inoltre l'area di un triangolo è data dal semiprodotto di due lati per il seno dell'angolo compreso:
$A=1/2absin(\gamma)=120cm^2$.
Mettiamo a sistema le due equazioni ricavate e riolviamolo per sostituzione
$\{(1/2absin(\gamma)=18sqrt3),(b=asin(\beta)):}$;
$\{(1/2a(asin(\beta))sin(\gamma)=18sqrt3),(b=asin(\beta)):}$;
$\{(1/2a^2sin(\beta)sin(\gamma)=18sqrt3),(b=asin(\beta)):}$;
$\{(1/2a^2sin(\beta)sin(\gamma)=18sqrt3),(b=asin(\beta)):}$;
$\{(1/2a^2*1/2[cos(\beta+\gamma)-cos(\beta-\gamma)]=18sqrt3),(b=asin(\beta)):}$;
$\{(1/2(12)^2*1/2[cos(90^\circ)-cos(\beta-\gamma)]=18sqrt3),(b=asin(\beta)):}$;
$\{(1/2*144*(-1/2)cos(\beta-\gamma)=18sqrt3),(b=asin(\beta)):}$;
$\{(36cos(\beta-\gamma)=18sqrt3),(b=asin(\beta)):}$;
$\{(cos(\beta-\gamma)=1/2sqrt3),(b=asin(\beta)):}$;

Quindi $cos(\beta-\gamma)=1/2sqrt3 => \beta-\gamma=arccos(1/2sqrt3)=30^\circ$.
Quindi sappiamo che $\beta-\gamma=30^\circ, \beta+\gamma=90^\circ$
Mettiamo a sistema le due equazioni trovate, e risolviamolo per sostituzione
$\{((\beta+\gamma)=90^\circ),((\beta-\gamma)=30^\circ):}$;
$\{(\gamma=90^\circ-\beta),((\beta-90^\circ+\beta)=30^\circ):}$;
$\{(\gamma=90^\circ-\beta),(2(\beta)=120^\circ):}$;
$\{(\gamma=90^\circ-60^\circ=30^\circ),((\beta)=60^\circ):}$

In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa
per il seno dell'angolo opposto al cateto stesso.
$b=asin(\beta)=12cm*sin(60^\circ)=12cm*1/2sqrt3=6sqrt3cm$
$c=asin(\gamma)=12cm*sin(30^\circ)=12cm*1/2=6cm$.